Основы программирования



              

Кольцо вычетов по модулю m


Целочисленный тип компьютера в точности соответствует важнейшему понятию математики - понятию кольца вычетов по модулю m. В качестве m выступает число 232 = 4294967296. В математике кольцо Zm определяется следующим образом. Все множество целых чисел Z разбивается на m классов, которые называются классами эквивалентности. Каждый класс содержит числа, попарная разность которых делится на m. Первый класс содержит числа

{...,-2m,-m,0,m,2m, ...}

второй

{..., -2m+1, -m+1, 1, m+1, 2m+1, ...}

последний

{..., -m-1, -1, m-1, 2m-1, 3m-1, ...}

Элементами кольца Zm являются классы эквивалентности. Их ровно m, так что, в отличие от множества целых чисел Z, кольцо Zm содержит конечное число элементов. Операции с классами выполняются следующим образом: надо взять по одному представителю из каждого класса, произвести операцию и определить, в какой класс попадает результат. Этот класс и будет результатом операции. Легко показать, что он не зависит от выбора представителей.

Все числа, принадлежащие одному классу эквивалентности, имеют один и тот же остаток при делении на m. Таким образом, класс эквивалентности однозначно определяется остатком от деления на m. Традиционно остаток выбирается неотрицательным, в диапазоне от 0 до m -1. Остатки используют для обозначения классов, при этом используются квадратные скобки. Так, выражение [5] обозначает класс эквивалентности, состоящий из всех чисел, остатки которых при делении на m равны пяти. Все кольцо Zm состоит из элементов

[0],[1],[2], ...,[m-1],

например, кольцо Z5 состоит из элементов

[0],[1],[2],[3],[4].

В элементарной школьной математике результат операции остатка от деления традиционно считается неотрицательным. Операция нахождения остатка будет обозначаться знаком процента %, как в языке Си. Тогда, к примеру,

3%5 = 3, 17%5 = 2, (-3)%5 = 2, (-17)%5 = 3.

Отсюда видно, что в школьной математике не выполняется равенство

(-a)%b = -(a%b),

т.е. операции изменения знака и нахождения остатка не перестановочны (на математическом языке, не коммутируют друг с другом).


Содержание  Назад  Вперед