Параллельное программирование


              

Особенности применения косинуса как функции меры угла


О величине угла в n-мерном пространстве мы можем судить только по его косинусу. Однако косинус не является монотонной функцией и в общем случае может служить мерой угла, если диапазон изменения этого угла не превышает

.

Составим по (6.11) симметричную матрицу S, включенную в табл. 6.1

косинусов углов между всеми нормалями к граням верхней (нижней) поверхности выпуклого многогранника R.

Таблица 6.1.

ГраньНормальN1 N2... Nr+n
p1 N1 1 cos(N1,N2)...cos(N1,Nr+n)
p2 N2 cos (N2,N1) 1...cos(N2,Nr+n)
... ............ ...
pr Nrcos(Nr,N1)cos(Nr,N2) ... cos(Nr,Nr+n)
pr+1 Nr+1 cos(Nr+1,N1)cos(Nr+1,N2)... cos(Nr+1,Nr+n)
... ...............
pr+n Nr+n cos(Nr+n, N1) cos(Nr+n,N2)

...

1

Выберем строку, соответствующую некоторой грани. Для комплектации граней, совместно с выбранной образующих общую вершину, выделим в этой строке n минимальных отличных от 0 и

углов, то есть n максимальных косинусов, отличных от 1 и -1. Тем самым мы отдаем предпочтение вершинам с наиболее "пологими" склонами. При корректно сформулированной задаче такие грани "вокруг" некоторых вершин должны найтись. При этом углы между нормалями к граням, образующим общую вершину, не превышают
. Следовательно, косинус может служить функцией меры углов в диапазоне их изменения.

Поясним выбор последовательности n косинусов.

Выбранная грань может быть параллельна некоторой другой грани или координатной плоскости, т.е. угол между их нормалями может быть равен либо нулю, либо

. Очевидно, такие грани не могут быть образующими одной вершины.

На рис. 6.6 Qнижн={p1, p2, p3, p4}.


Рис. 6.6.  Пример, показывающий, когда грани не могут быть образующими одной вершины

Таблица косинусов углов имеет вид

Таблица 6.2.

ГраньНормальN1 N2N3 N4
p1 N1 1 010
p2 N2 0 101
p3 N3 1 010
p4 N4 0 1 0

Из первой строки, допуская лишь одну единицу cos(N1,N1)=1), находим возможные образующие {p1, p2}. При этом поиск элементов последовательности ведем слева направо. Проверка подтверждает правильность выбора вершины A.


Содержание  Назад  Вперед