Основные предположения
Определение. Назовем плоскость в n-мерном пространстве образующей вершины A выпуклого многогранника R допустимых решений задачи ЛП, если ее уравнение входит в состав системы n линейных уравнений границ многогранника R, решением которой является точка A.
В общем случае каждая вершина многогранника R имеет не менее n образующих плоскостей. Часть из них может совпадать с координатными плоскостями.
Изменим обозначение плоскостей-граней, образующих исследуемую далее верхнюю (нижнюю) поверхность многогранника R:
Qверхн (Qнижн) ={p1, p2,... , pr, pr+1, ... ,pr+n}. (6.7)
Здесь
Сменим обозначение и коэффициентов уравнений плоскостей, выделив совокупность всех граней многогранника R — действительных и возможных, образующих исследуемую (верхнюю или нижнюю) поверхность:
p1 = d11 x1 + d12 x2 +... + d1n xn = 0
p2 = d21 x1 + d22 x2 +... + d2n xn = 0
...
pr = dr1 x1 + dr2 x2 +... + dr n xn = 0 (6.8)
pr+1 = x1 = 0
...
pr+n = xn = 0.
Найдем координаты единичных векторов нормалей Nj, j = 1,... , n+r, к плоскостям (6.8):
 |
(6.9) |
где
 |
(6.10) |
Тогда косинус угла между нормалями к двум граням верхней (нижней) поверхности R вычисляется как результат скалярного произведения единичных векторов нормалей:
 |
(6.11) |
Выскажем гипотезу, которая является основой теоремы существования:
Если плоскости pj и pq совместно не являются образующими какой-либо вершины верхней (нижней) поверхности выпуклого многогранника R допустимых решений задачи ЛП, а их нормали Nj и Nq образуют "угол"
Слово "угол" берем в кавычки в связи с тем, что любой угол измеряется в плоскости и видеть его мы можем в двух- и трехмерном пространстве.
В общем случае n-мерного пространства мы можем судить о величине угла по его косинусу, который отыскивается как результат скалярного произведения единичных векторов.
